世界は2乗でできている

読んだ本の感想。

小島寛之著。2013年8月20日 第1刷発行。



難しかった。

第1章 ピタゴラスの定理
ピタゴラスの定理では、直角三角形の直角を挟む二辺の平方の和は、斜辺の平方と等しい。平方は二乗とも言う。

<公式>
①(x + y)の二乗 = xの二乗 + yの二乗 + 2xy
二数を足してから二乗した結果と、各数の二乗の積の二倍を加えた数は等しい。「和の二乗」と「二乗の和」は積の二倍分だけずれる。

②(x + y)(x -y) = xの二乗 - yの二乗
和と差の積は二乗の差。

ピタゴラスの定理は、数学に以下の貢献をした。

①数論
直角三角形の三辺を成す事が出来る自然数三つ組を「ピタゴラス数」と呼ぶ。ピタゴラスは、ピタゴラス数が無数にある事を証明した。

13579
1491625
4491625
9991625
1616161625
2525252525


上記の表から、連続する奇数の合計は、必ず平方数となる事を証明可能。1と3の合計は4、1と3と5の合計は9となり、連続的に奇数を加える事でピタゴラス数を無数に作る事が出来る(グノモンの和)。ただし、グノモンの和で全てのピタゴラス数を得る事は出来ない(8、15、17等)。

ピタゴラスの定理のように変数が複数ある方程式の整数解を求める問題を「ディオファントス方程式」と呼び、17世紀のフェルマーに繋がる。

②無理数論
ピタゴラスは、直角三角形において直角を挟む二辺が1である場合、斜辺が有理数でない事を発見した。無理数には非循環の性質があり、無理数を規定するには無限を明らかにしなければならず、19世紀のデデキントに繋がる。

③幾何学的計量理論
ピタゴラスの定理は直方体にも成り立つ。さらに何次元にでも成り立ち、アインシュタインの特殊相対性理論は4次元空間にピタゴラスの定理を応用した理論。無限次元に拡張した場合はヒルベルト空間と呼ばれ、ミクロの物体を扱う量子力学で使用される。

第2章 フィボナッチと合同数
フィボナッチ数とは、最初の二項が1で、三項目以降は前の二項の和から作られる数列。

①フィボナッチ数の中の平方数
連続するフィボナッチ数の平方の和は、必ずフィボナッチするになる。

②合同数
合同数とは、三辺が有理数の直角三角形の面積。

③ペル方程式
xの二乗 - Ayの二乗 = 1の整数解を求める問題。座標平面上に描くと双曲線になる。

A = 2の場合、xの二乗 - 2yの二乗 = 1となり、「平方数と平方数の二倍との差が1」という意味になる。その解は2の平方根であり、自然数解を持たない方程式となる。

一般的な解法は以下の段階を踏む。

・最小の正の解を見つける
・最小の正の解をx,yとし、x + y√Aという無理数を作り、それをk乗して展開して整理し、x + y√Aという形式で表すと、係数に現れるxとyがk番目の解となる

ペル方程式は、素数を作る多項式の理論に応用されている。

第3章 ガリレイと落体運動
ガリレイは落下距離が落下時間の二乗に比例する事を明らかにした。瞬間毎に変わる等加速度運動を記述するには、微分法が必要とされた。

〇慣性の法則
物質が運動状態を保とうとする性質。外力が働かない時、物体は静止しているか、等速直線運動をする。

「慣性の法則」は地動説証明と関連しており、落下物質は地球の自転と同じ方向、同じ速度に落ちるため、真っ直ぐ落下しているように見える。

〇エネルギー保存則
落下物において、運動エネルギー(速度の二乗の定数倍)と位置エネルギー(地面からの高さの定数倍)の和は、どの瞬間も一定に保存される。

第4章 フェルマーと4平方定理
〇二平方定理
4で割った余りが1であるような素数は、必ず2つの和の平方数の和で表せる。

〇四平方数定理
全ての自然数は4個の平方数の和で表せる。

ここでは0も平方数に含める。

1 = 0 + 0 + 0 + 1

四平方数定理は、母関数を使用する方法(数列に関する等式を、多項式を使用して一気に証明する)や、p進数(素数一般)という新しい数空間を使用する方法等で証明され、数学を発展させた。

母関数:
数列を展開すると、単項式が何回出てくるかは、その単項式の係数に表れる。これにより、多項式の積を展開したxのn乗の係数に、与えられた数の和によってnを何通り作れるかが表れる。

19世紀の数学者ヤコビは、テータ関数という式を作り、それを4乗したものを計算し、どの自然数についても係数が正である事を証明し、四平方数定理を証明した。

p進数:
p進法は10進法等のように、pが2以上の整数なら必ず定義出来るが、p進数はpが素数の時だけ定義される。p進数ではp進法表現を無限の先まで延長出来るらしい(この辺りの説明が難しかった)。

〇フェルマーの小定理
pを素数とし、aをpの倍数でないとすると、「aの(p-1)乗 - 1」はpで割り切れる。

例えば、素数pを7として、2も3も7の倍数でないから、それぞれ6(7 - 1)乗して1を引くと

2の6乗 - 1 = 63 = 7 × 9
3の6乗 - 1 = 728 = 7 × 104

となり7で割り切れる。この定理は逆が成立しないので、pが素数であるかの判別には使用出来ない。

〇フェルマーの大定理
nを3以上の整数とする時、

(xのn乗) + (yのn乗) = (zのn乗)

を満たす自然数x、y、zは存在しない。

第5章 ガウスと虚数
ガウスは、二乗するとマイナスになる虚数を用いて複素数を深く研究した。

<合同式>
2以上の整数mと整数a、bに対して、(a - b)がmで割り切れる時、「aとbは、mを法として合同」と表現する。

例えば、「10 - 4 = 6」は3で割り切れるので、「10と4は3を法として合同」と表現出来る。これは、10も4も3で割ると余りが1である事から、引き算すれば3の倍数になる事を意味する。

つまり、aとbをmで割った余りが一致する事を『a≡b(mod m)』と簡単に表記している。合同式には以下の性質がある。

①法が同一の合同式同士は足し算・引き算・掛け算・べき乗が
 出来る
以下で考える。

合同式1:a=10、b=4、法=3
合同式2:A=9、B=6、法=3

a + A ≡ b + B (mod 3)
a - A ≡ b - B (mod 3)
aA ≡ bB(mod 3)

②法の数と互いに素な数なら割り算して良い
すなわち、mとAが互いに素の時、

aA ≡ bA(mod m)ならば、a ≡ b(mod m)

<平方剰余>
以下の合同式を考える。

(xの2乗) ≡ a (mod p)

上記の式から、以下の平方剰余相互の法則を考える。

奇素数pとqについて

①pとqの少なくとも一方が4で割った余りが1の時、pが法qの平方剰余なら、qは法pの平方剰余であり、pが法qの平方剰余でないなら、qは法pの平方剰余でない

②pもqも4で割ると余りが3の時、pが法qの平方剰余なら、qは法pの平方剰余ではなく、pが法qの平方剰余でないなら、qは法pの平方剰余である

第6章 オイラーとリーマン
バーゼル問題(平方数の逆数を無限の先まで足したら幾つになるか)に端を発するゼータ関数の話。

1735年にオイラーが、平方数の逆数の無限和に、円周率の二乗を六で割った数が現れる事を発見した。円周率が現れるのはサイン関数を0にする値が、整数×円周率だからとする。

サイン関数を無限次の多項式で表した式を因数分解し、分母が同じ二つの式を掛け合わせていくと、平方数の逆数の無限和になる?

第7章 ピアソンとカイ2乗分布
統計学におけるデータの散らばりを標準偏差で表す時、平均値からの隔たりをプラス・マイナスに関係無く一つの数字で代表するため、二乗が使用される。

これは正規分布とも結びつく思想。

第8章 ボーアと水素原子内の平方数
水素原子から出るスペクトル(電磁波)の波長が飛び飛びで平方数で分布を表現出来る。

水素原子では、プラスの陽子の周りを電子が円軌道を描きながら回転運動しており、電子の速度をv、円軌道の半径をrとすると、円運動の加速度aは、a = (vの二乗) / rになる。

一方、電気力(プラスとマイナスが引き合う力)は、重力と同じように物体の距離の二乗に反比例するため、(vの二乗) / r = k(1/(rの二乗))が成り立つと想定される。

これらの式から電子の運動エネルギー、位置エネルギーは速度の二乗に比例する事が計算出来る。

水素原子から出てくる電磁波は、軌道上を回転運動している電子が、半径の大きい軌道から小さい軌道に飛び移る時に出るとする。近い軌道の方が回転に要するエネルギーが小さいので、余ったエネルギーが電磁波として水素原子の外側に発光される(両量子跳躍)。

新しい軌道での回転運動に必要なエネルギーも速度の二乗に比例するため、水素原子から出てくる電磁波は、二乗 - 二乗 = 二乗で二乗に比例する。

第9章 アインシュタインとE=mc2
E = m(cの二乗)は、質量mの物体は、存在するだけで、質量に光速cの二乗を掛けたエネルギーを持っている事を意味する。

これは質量とエネルギーを転換出来る事を意味する。核分裂する際、物質の質量が小さくなり、分裂した原子核等の運動エネルギーに変換される事も説明可能。

アインシュタインの世界では、等直線運動をしている異なる地点で同時刻に起きる現象は、同時でない可能性があり、人間がそれを意識出来ないのは光速に近い速度で移動する世界を観測しないからとする。

人気ブログランキングへ
スポンサーサイト

暗記しないで化学入門

読んだ本の感想。

平山令明著。2000年7月20日 第1刷発行。



<原子>
分子は原子から成っているが、特定の原子同士が結び付いている。原子が結合する力を結合力と呼び、幾つの原子と結合出来るかを「原子価」という言葉で表す。

原子は原子核と電子から出来ており、水素原子には1つの電子があるが、炭素原子には6個の原子があり、電子の数と周期表の原子番号は一致する。原子番号は、各原子が中性の時に持つ電子の数である。

複数の原子がある場合、電子は幾つかのクラスに分けられる。これを高層ビルの部屋割りに喩えると、上階にいくほど部屋数が多くなる。1階をsタイプとすると1部屋しかなく、2階をsタイプとpタイプとすると4部屋(sタイプ1部屋とpタイプ3部屋)、3階をsタイプ、pタイプ、dタイプとすると9部屋(sタイプ1部屋、pタイプ3部屋、dタイプ5部屋)となる。

そして、4階のsタイプ室の料金は3階のdタイプ室より料金が安めに設定されているので、3階のdタイプ室に人が入る前に4階のsタイプの部屋が満室になる。

化学では、部屋という代わりに軌道と呼ぶ。

<電子>
電子は基本的に2つが1対になって安定する。同時に電子は広い範囲に分布する性質も持つ。そのため孤立した電子は別のげんしから電子を連れてきて1対になろうとする。これが結合の仕組みである。

以下のように1部屋に最大で2つの原子が入る。

周期原子記号原子名1s2s2p2p2p
11H1
12He2
23Li21
24Be22
25B221
26C2211
27N22111
28O22211
29F22221
210Ne22222


HeやNeのように全ての電子が対になっている場合、希ガスと呼ばれ、他の原子と化学結合を作らない安定な原子となる。電子はマイナスの電荷を1つ持っているため、原子が中性になるためには原子核には電子数に釣り合うプラスの電荷を持たなくてはならない。

軌道のエネルギーは外側にいくほど高くなっていき(内殻と外殻)、最も外側にある電子殻を最外殻と呼び、最外殻の電子が原子価を決めるために重要なので価電子と呼ぶ。

<多重結合>
複数の価電子の余りあると、二つの原子の間に複数対の電子が共有される事がある。電子は活発な性質を持つために多重結合は化学反応し易い。

化学結合を作る際にはエネルギーが必要で、多量のエネルギーが与えられると、例えば2軌道でs軌道とp軌道の格差が無くなり、4軌道全部が共通の領域になる。その場合をsp3軌道と呼ぶ。

sp3等の混成で出来る結合をσ結合と呼び、p軌道電子のみから出来るπ結合と区別する。有機化合物においては、σ結合は分子の骨格を作る役割を果たし、π結合は自由度の高い電子に対して化学反応性を与える役割を持つ。

<分極>
内殻電子によるマイナス電荷は、対応する原子核のプラス電荷と相殺し合っているので、内殻電子が結合に影響する事はない。しかし、外殻にある電子は動き易いので結合に影響する。

そのため、原子核のプラス電荷が異なる原子が結合した場合、プラスの電子を多く持つ原子側に偏る傾向がある。科学ではこれをδで表す。

例えば、メタン分子では原子核の電荷が+4である炭素原子が電子を引き付け、+1の電荷しかない水素原子が電子を取られるため、炭素原子がマイナスの電荷を帯び、水素原子がプラスの電荷を帯びる。こうした分子を電場に置くと、その影響で整列する。

<金属結合>
各金属原子が並んでいる間を価電子が自由に動く。結果的に原子が電子を共有する事になり、集合して安定な、しかし柔らかい固体を形成する。価電子が自由になる事が結合の条件。

自由に動く電子を自由電子と呼び、金属板の両極にプラスとマイナスの電場をかけると電気が金属板の中を流れる。熱は電子の運動として伝えられ、金属原子は集合していれば自由電子が接着剤として機能するので薄く展ばしたりできる。

人気ブログランキングへ

化学の基本7法則

読んだ本の感想。

竹内敬人著。1998年9月21日 第1刷発行。



1 質量保存の法則
化学反応にあずかる全ての物質と生成物を考えるならば、質量変化は発生しない。質量は作り出されたり、失われる事無く、物質間を移動する。

ラボアジュ(1743年~1794年)によって発見され、ランドルト(1831年~1910年)の実権によって確認される。アインシュタイン(1879年~1955年)は質量とエネルギーを等価とした。

ラボアジュは、封じられたレトルトに金属を入れて燃焼させ、前後の質量を比較する実験から、空気の1/5だけが化合するとし、1/5にオキシジェン(oxygen)と名付けた。

また、1905年にアインシュタインが質量とエネルギーが等価であると考え、以下の士気を提唱。

E = m × cの二乗 (E:エネルギー、m:質量、c:光の速度)

物質をエネルギーに変化させる事も、その逆も可能。

(例:ヘリウム原子)
ヘリクム原子は、二個の電子、二個の原子核、二個の中性子から出来ているために、質量はその合計であるはずだが、それより質量は軽い。陽子と中性子から安定的な原子核が生成されるためにエネルギーを放出するために質量の現象が起こる(質量欠損)。

<フロギストン説>
質量保存の法則以前の思想。物質に含まれるフロギストン(燃素)が年商を支えると考えた。燃焼した金属が重くなるため、フロギストンにはマイナスの質料があると考える人もいた。

燃焼によってフロギストンが放出されると考えるフロギストン説に対して、質量保存の法則は燃焼物と気体が混合すると考える。

2 ボイル―シャルルの法則
気体の体積は圧力に反比例し、気体の体積と温度も関係がある。

ボイル(1627年~1691年)による体積の実験と、シャルル(1746年~1823年)による温度の実験。

シャルルは、1787年の実験であらゆる気体は、0℃と80℃の間で同じ割合で膨張する事を発見した。0℃から100℃になると1.366倍になり、

V = V0(1 + t/273) (V0:始めの気体、t:温度差)

上記の式では、t = -273とすると体積は0になり、気体は-273℃が最も低い温度になる。

3 ドルトンの原子説
1808年にドルトン(1766年~1844年)は、原子量を持つ原子と、化合物は異なる種類の原子が最も簡単な比で結合する事によって作られる「最単純性の原理」を発表した。

例えば、酸化鉄(鉄原子一つが酸素原子一つと結合)や四三酸化鉄(鉄原子三つが酸素原子四つと結合)では、質量が不連続で変化する。

プルースト(1754年~1820年)は外観や産出場所が異なっても天然物質の成分比が一定である都市、定比例の法則を提唱した。

ドルトンは、メタンとエチレンを比較し、メタンの持つ水素量がエチレンの二倍であった事から、二種類の元素が化合して化合物を作る場合、その質量比は簡単な整数比をなすという倍数比例の法則を提唱。

ゲー・リュサック(1778年~1850年)は気体の反応物の体積が簡単な整数の比になる気体反応の法則を提唱。異なる種類の北家も、同じ条件では一定体積中に同数の粒子が含まれる事を示す。

4 アボガドロの分子説
アボガドロ(1776年~1856年)は多くの気体では二個の原子が分子を作って存在しているとした。

この考えでは、窒素は窒素原子二個、水素は水素分子二個から出来ており、窒素一分子と水素三分子から、アンモニア(窒素一原子と水素三原子からなる)分子が二個出来る事が説明出来る。

アボガドロの仮説では、気体は同温、同圧では同数の分子を含むため、気体に含まれる分子の密度から質量を求める事が可能になる。

国際単位系では質量数12の炭素12gに含まれる炭素原子の数をアボガドロ定数として、6.0229 × 10の23乗としている。

上記と同数の基本的実体(分子や原子等の物質の構成単位)を含む物質の物質量を1モルと定義する。

5 ファラデーの法則
ファラデー(1791年~1867年)による電磁誘導の発見。

ファラデーの第一法則:
同じ種類の物質を電気分解する時は、電気分解生成物の量と通じた電気量が比例する。

ファラデーの第二法則:
異なる物質の電解生成物の質量の比は化学当量の比に等しい。

化学当量は原子量を原子価で割った値。例えば、バリウム(原子量137.3)は二価のイオンであるから、137.3/2=68.7が化学当量になる。

後に電気化学当量の意味が原子説の確立によって明確になると、ファラデーの第二法則は、電極で1モルのイオンの質量をイオンの価数で割ったものを変化させるのに必要な電気量は、イオンの種類によらず一定であると表現されるようになる。この一定量は1ファラデーと呼ばれ、約96500クーロンである。

6 アレニウスの電離説
電解質は常にイオンに電離している。

電気分解の実験が高い精度で行われるに連れて、電解質溶液の中を電荷を帯びた粒子(イオン)が移動する速度は粒子の速度によって異なる事が明らかになった。

粒子(イオン)が電気を運ぶ際に電解質溶液が示す抵抗は粒子の動き易さを表す目安となる(電気伝導率)。

アレニウスは、1880年代後半に、電解質を水に溶かすと一部が粒子(イオン)に分かれる = 電離するとした。例えば食塩を水に溶かすと、陽イオンであるナトリウムイオンと陰イオンである塩化物イオンに分かれる。

そのため、それらの溶液の化学的性質は、個々のイオンの性質の和で表す事が出来る。

<実験>
ビーカー内に、①純水、②0.1モル/ℓ食塩水、③0.1モル/ℓ酢酸、④0.1モル/ショ糖水溶液をそれぞれ入れて、電極と電池、電球から作った回路をビーカー内に入れて、電球の点灯の様子から電離説を確認する。

7 元素の周期律
メンデレーエフが周期律を発見したのは1899年だが、その前から性質が似通った元素の存在は知られていた。ニューランズは、1864年に元素を原子量の順に並べると8つおきに性質の似た元素が現れる事が多い事を提案している。

<周期律の確認>
ゲルマニウムと、周期表においてゲルマニウムの上下にあるケイ素とスズの情報を比較する。

ゲルマニウムは、原子量、融点、沸点、密度、比熱等が、ケイ素とスズのほぼ中間の値を示す。

人気ブログランキングへ
プロフィール

ABCDEFG

Author:ABCDEFG
FC2ブログへようこそ!

最新記事
最新コメント
最新トラックバック
月別アーカイブ
カテゴリ
フリーエリア
検索フォーム
RSSリンクの表示
リンク
ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

QRコード
QRコード