微分・積分が17時間でマスターできる本

読んだ本の感想。

間地秀三著。1993年5月28日 初版発行。



<微分>
微分とは、接線(一点で接する点)の傾きを求める事。

ここでいう『傾き』とは、変化の割合を意味する。例えば、「Y = 2」という式を考えると、Yが常に2であるために変化の割合は0となる。次に「Y = 2X」という式を考えると、Xが1変化するとYが2変化するため、変化の割合は2となる。

このようにして求められる接線の傾きの式を「導関数」と呼ぶ。これは「Y = Xの2乗」などの変化の割合が一定でない式を考えた時に有効な考え方。

「Y = Xの2乗」の変化の割合は2Xとなる。これは、X = 1の時の変化の割合が2であり、X = 2の時の変化の割合が4であり、X = 3の時の変化の割合が6である事を意味し、Xが増加する毎に変化の割合も増加する事を意味する。

以下は、微分の役割。

○最大値、最小値の算出
複雑な式であっても変化の割合を知る事でグラフを描けるため、最大値や最小値を求める事が出来る。

○速度の算出
距離を時間で表現する場合、距離を微分する(瞬間的な距離を求める)事で速度を算出出来る。特に物体の落下速度等の一定でない速度を考える時に微分が有効。

【例題:花火の落下】
以下のように考える事で、花火のX秒後の速度やどの位まで打ち上げる事が出来るかを計算可能。

情報1:花火の打ち上げ時の速度
1秒間で100m打ち上がる(Y = 100X)。

情報2:花火の落下速度
1秒間に5Xの2乗m落下する(Y= -5Xの2乗)。

上記から、X秒後の花火の打ち上げ位置(Y)は、Y(距離) = 100X - 5X^2となる。この式を微分すると、Y'(速度) = 100 - 10Xとなる。

ここで最高点では、速度が0になる事に着目。Y'(速度) = 0になるのは、X = 10の時なので、打ち上げから10秒後に花火が最高点に到達する事が予測出来る。

<積分>
積分の役割は、面積や体積を計算する事。

不定積分:
微分してXになる式を求める等。例えば、Y = 1/2X^2を微分すると Y' = Xになる。これをXの不定積分といい、∫Xdxと表す。

定積分:
例えば、∫Xdxで、Xが1~2の時の値を求める。(1/2 x 2^2) - (1/2 x 1^2) = 1となる。

こうした定積分を用いる事で、曲線の一部分の面積や体積を計算によって求める事が出来る。

【例題:ミサイルをゴジラに当てる】
以下の情報。

ゴジラまでの距離:96㎞(96000m)
ミサイルが水平方向に飛び出す速度:800m/秒
ミサイルの落下速度:Y = 5X^2

上記から、ミサイルがゴジラに命中するまでの時間は120秒。ミサイルは放物線を描いて飛ぶため、ミサイルが最高点に到達するのは、120秒の半分の60秒後になる。

上方に飛び出す速度をaとすると、X秒後の地上からのミサイルの距離(Y)は、aX - 5X^2になる。これを微分すると、Y' = a - 10xになり、60秒後に最高点に到達 = 速度が0になるとすると、a = 600が導き出せる。

よって、96㎞先のゴジラにミサイルを当てるには、水平方向に800m/秒、上方に600m/秒の速度でミサイルを打ち上げるべき。これは、高さ600m、横800mの長方形の対角線と考えると1000mになり、斜め方向に1000m/秒の速度でミサイルを発射すれば120秒後にミサイルがゴジラに命中する計算になる。

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